1 时间序列距离

设有两段时间序列数据，需测量他们的距离/相似性$ distance(X, Y) $:

$$ \begin{align} X &= x_1,x_2,\cdots,x_{N-1},x_N \\ Y &= y_1,y_2,\cdots,y_{M-1},y_M \end{align} $$

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5. 连续观测

有两个方法将连续观测序列和HMM结合.

1. 将连续观测聚类为离散类别,这就对应到HMM离散观测序列. 然后按照HMM离散观测序列处理.
2. 更改观测概率函数为密度函数,例如高斯概率密度, 这需要替换观测状态序列生成函数.

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4 从观测序列中学习模型参数

4.1 最大期望对数似然

设有$K$条观测序列$ ^{[5]} $:

$$ X=\{O^k\}_{k=1}^K $$

模型参数$ ^{[5]} $:

$$ \lambda = (A,B,\Pi) $$

调整模型参数使得观测序列概率最大化，即可完成参数学习过程$ ^{[1]} $.

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3 查找最大概率状态序列

当给定模型参数$\lambda$和状态序列$O$时

3.1 Viterbi

目标为:

$$ \bar{Q} = \underset{Q}{\arg \max} P(Q, O | \lambda) $$

• 定义$ ^{[2]} $

$$ \begin{align} \delta_t(i) &= \underset{q_1,q_2,\cdots,q_{t-1}}{\max} P(q_1,q_2,\cdots,q_t=i, O_1, O_2, \cdots, O_t | \lambda) \\ \delta_{t+1}(j) &= \underset{i}{\max} [\delta_t(i) a_{ij}] b_j(O_{t+1}) \end{align} $$

每次选择过去的概率乘转换概率后的最大概率作为最佳概率, 只要保持跟踪记录上次选择的最大概率对应状态$ S_i $. 则得到了最大概率状态序列.

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2 向前向后算法(forward-backward)

给定模型参数，计算给定任意观测序列$ O $的概率$ ^{[2]} $.

$$ P(O|\lambda) = \sum_Q P(O, Q | \lambda) $$

$ Q $有$ N^T $种可能，很显然，计算复杂度$ o(N^T) $太高. 因此使用(forward-backward)向前向后算法实现可接受的计算复杂度.

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1 简介

HMM是Hidden Markov Models缩写, 1960s, Baum和他的同事发布一系列论文，1970s CMU的Baker用于实现语音处理,1970s IBM Jelinek和他的同事用于语音处理$^{[1]}$.

重要假设：当前状态仅与上一步状态相关，与上一步之前的状态无关.

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